算几不等式

作者: 分类: J惠生活 发布于:2020-07-28 612次浏览 27条评论


在高中数学的範畴中,「算几不等式」是一个常用的基本不等式,在证明不等式的题目中,我们经常藉助它来论证命题。而国中的几何变动量所讨论的「等周长的矩形以正方形的面积为最大」,就蕴涵算几不等式的几何意义。

设矩形的长为\(a\)、宽为\(b\),整理可得代数式:

设\(a,b\)为正实数,则\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\),其中等号成立的充要条件为\(a=b\)。

\(\frac{a+b}{2}\)、\(\sqrt{ab}\) 分别称为算术平均数(arithmetic mean)、几何平均数(geometric mean),\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\) 简称为算几不等式。不等式的证明相当有趣,因为其证明的方法灵活多样化,底下介绍算几不等式的一些证明方式:

证明一:差值比较法

\(\displaystyle\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2-2\sqrt{ab}}{2}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}\geq{0}\),

故 \(\displaystyle\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)。

\(\displaystyle\frac{a+b}{2}=\sqrt{ab}\Longleftrightarrow\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{2}=0\Longleftrightarrow\sqrt{a}=\sqrt{b}\Longleftrightarrow{a}={b}\),

所以等号成立于 \(a=b\)。

证明二:由柯西不等式得知,

\((\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2)(1^2+1^2)\geq(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\),

\(2(a+b)\geq{a}+b+2\sqrt{ab}\), \(\displaystyle\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)。

且等式成立时,\(\sqrt{a}:\sqrt{b}=1:1\),即 \(a=b\) 时。

算几不等式

算几不等式

算几不等式

令\(a=2^{a_1},b=2^{a_2}\),

\(\displaystyle\frac{2^{a_1}+2^{a_2}}{2}\geq{2}^{\frac{a_1+a_2}{2}}=\sqrt{2^{a_1+a_2}}\),所以\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)

证明三的图形是最常见的,再继续作图可得

调和平均数(harmonic mean)\(\frac{2ab}{a+b}\) 与平方平均数(root mean square)\(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\)

即:平方平均数>算术平均数>几何平均数>调和平均数

算几不等式

至于证明七的 \(y=2^x\) 图形若改成 \(y=\log\),

则同理可得 \(\log(\frac{a+b}{2})\geq\frac{\log{a}+\log{b}}{2}\) 即 \(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)。

最后,算几不等式推广到 \(n\) 个正实数的情形:

对任意正实数 \(x_1,x_2,x_3,\mbox{…},x_n\),\({\frac{x_1+x_2+x_3+\mbox{…}+x_n}{n}}\geq\sqrt[n]{x_1x_2x_3{\mbox{…}x_n}}\) 恆成立。

其中等号成立的充要条件为 \(x_1=x_2=x_3=\mbox{…}=x_n\)。


参考资料
Roger B. Nelsen (1993). Proofs Without Words:Exercises in Visual Thinking. Washington, DC: MAA。
张镇华 (2002).〈算几不等式面面观〉,《数学传播》26 卷2 期。
黄毅英 (1994).〈从算术几何平均不等式看数学解题中的一题多解〉,《数学传播》18 卷4 期。

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