算几不等式的应用(3)

作者: 分类: Q烛生活 发布于:2020-07-28 958次浏览 91条评论

连结: 算几不等式的应用(2)

算几不等式除了常见于前文所提及的两种型式之外,还可用于变数变换法中决定新变数的範围。

例如「已知 \(x>0\),求 \(\displaystyle{f(x)}=-{(x+\frac{1}{x})^2}+2(x+\frac{1}{x}) + 3\) 之最大值。」

此题只要令 \(t = x + \frac{1}{x}\),则可将原题目改写成 \(t\) 的一元二次多项式,然后配方可得

\(-{t^2}+2t+3=-{(t – 1)^2}+4\),\(4\) 是发生在 \(t=1\) 的时候,但这是不可能的!

因为由算几不等式可知 \(\displaystyle{t}= x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt {x \cdot \frac{1}{x}}= 2\),

所以当 \(t=2\),即 \(x =\displaystyle\frac{1}{x}\Leftrightarrow x = 1\) 时,最大值为 \(3\)。

算几不等式的应用(3)

以上所介绍的,就是高中数学中算几不等式的主要应用,大抵上都是用于求最大值、最小值或範围。倘若我们目光放远一点,不侷限于高中教材,那幺,算几不等式还有其他的应用与推广。张海潮教授在〈算几不等式的虚应用〉一文中指出,虽然许多用算几不等式来求最大值或最小值的题目,都可以用更高等的数学知识─微积分来解决,但仍有一个不可忽视的重要应用:

\(n\) 是正整数,证明不等式 \(\displaystyle{(1 + \frac{1}{{n + 1}})^{n + 1}} > {(1 + \frac{1}{n})^n}\) 成立。

【证明】:

利用算几不等式得,

算几不等式的应用(3)

左式\(=\displaystyle \frac{{n(1 +\displaystyle\frac{1}{n}) + 1}}{{n + 1}} = \frac{{n + 1 + 1}}{{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{n + 1}}\),右式\(= {\displaystyle\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{\displaystyle\frac{n}{{n + 1}}}}\),

所以 \(\displaystyle{1} + \frac{1}{{n + 1}} \ge {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{\displaystyle\frac{n}{{n + 1}}}}\),

两边同取 \(n+1\) 次方即得 \({(1 + \frac{1}{{n + 1}})^{n + 1}} \ge {(1 + \frac{1}{n})^n}\)。

等号成立的充要条件是 \(\displaystyle{1} + \frac{1}{{n + 1}} = 1\),这显然不可能成立,

故得证 \(\displaystyle{(1 + \frac{1}{{n + 1}})^{n + 1}} > {(1 + \frac{1}{n})^n}\)

对于不等式 \(\displaystyle{(1 + \frac{1}{{n + 1}})^{n + 1}} > {(1 + \frac{1}{n})^n}\),我们可以从複利的角度来看它:将本金当作 \(1\) 单位、年利率当作 \(100\%\),如果把一年分成 \(n\) 期,则每一期的利率就是 \(\displaystyle\frac{1}{n}\),那幺依複利公式计算(可参阅本网站国立北门农工李建宗老师〈複利〉一文),则一年后的本利和就是 \(\displaystyle(1+\frac{1}{n})^n\);同理,若把一年分成 \(n+1\) 期,则每一期的利率就是 \(\displaystyle\frac{1}{n+1}\),一年后的本利和就是 \(\displaystyle(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}\)。上述的不等式就告诉我们複利的次数越多,那一年后就越有钱!

複利越多次就越有钱!多美好的一句话!如果在年初存 \(1000\) 元进银行,那幺只要複利够多次,一年后不就比郭台铭还富有了?这幺奢望就太异想天开了!无论複利多少次,一年后的本利和绝不会超过 \(3000\) 元(年利率 \(100\%\) 的情况下),最多大概就是 \(2718\) 元!为什幺呢?这就要谈到数学中另一个重要的常数:自然常数 \(e\approx 2.71828…\),有兴趣的读者可参阅本网站中由台北市立和平高中黄俊玮老师所写的文章〈另一个重要的无理数:\(e\)〉,以下仅提供函数 \(f(x) =\displaystyle{(1 + \frac{1}{x})^x}\) 的图形(参阅图一),让读者「亲眼见识」它会越来越靠近直线 \(y=e(\approx 2.71828)\),而不会让我们变成超级大富豪!

算几不等式的应用(3)

图二 (本文作者林仓亿绘)

最后,我们还可以将算几不等式扩充至「平均数不等式」(或称为平均值不等式、平均不等式)

:\(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 均为正实数,

其「调和平均数」为 \({H_{n}} =\displaystyle\frac{n}{\displaystyle{\frac{1}{{{a_{1}}}} + \frac{1}{{{a_{2}}}}+\cdots+ \frac{1}{{{a_{n}}}}}}\),

「几何平均数」为 \({G_{n}} = \sqrt[n]{{{a_{1}}{a_{2}}\cdots{a_{n}}}}\),

「算术平均数」为 \({A_{n}} =\displaystyle\frac{{{a_{1}} + {a_{2}} +\cdots+ {a_{n}}}}{n}\),

「平方平均数」\({Q_{\,n}} =\displaystyle \sqrt {\frac{{{a_{1}}^2+{a_{2}}^2+\cdots+ {a_{n}}^2}}{n}}\),

则这四个平均数的大小关係为 \({H_{n}} \le {G_{n}} \le {A_{n}} \le {Q_{n}}\),

三个等号成立的充要条件都是 \(a_1=a_2=\cdots=a_n\)。

此处仅列出「平均数不等式」,至于其证明,再另外为文证明之。


参考文献

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